Rio 2018 : Portrait de Fanny Kassel, conférencière invitée

Quel est votre domaine de recherche ?

J’étudie les sous-groupes discrets des groupes de Lie et leurs aspects géométriques, topologiques et dynamiques. L’exemple le plus classique est le groupe de Lie SL(2,R), qui agit sur le demi-plan de Poincaré H² par homographies. Parmi ses sous-groupes discrets, on connaît bien les réseaux, qui sont par définition les sous-groupes discrets Γ de covolume fini pour la mesure de Haar, produisant des surfaces (ou orbifolds) hyperboliques H²/Γ de volume fini. Mais il existe aussi d’autres sous-groupes discrets intéressants, de covolume infini, comme les groupes dits convexes cocompacts, pour lesquels H²/Γ se rétracte sur une partie convexe compacte. On peut obtenir de tels sous-groupes par des méthodes dynamiques (groupes de Schottky, dont les générateurs "jouent au ping pong" sur H²). Je m’intéresse aux sous-groupes discrets de groupes de Lie de rang supérieur comme SL(n,R) pour n≥3. Ces sous-groupes agissent sur l’espace symétrique SL(n,R)/SO(n), mais celui-ci n’est plus de courbure strictement négative comme H², sa géométrie est plus compliquée. On peut comprendre certaines classes de sous-groupes discrets Γ de SL(n,R) en étudiant leur action, non seulement sur l’espace symétrique, mais aussi sur des espaces qui apparaissent naturellement "à l’infini" de l’espace symétrique, comme l’espace projectif P(Rⁿ) ou plus généralement des variétés de drapeaux. Quand Γ est infini, il ne peut agir proprement sur un espace compact comme P(Rⁿ), mais il peut parfois agir proprement sur un ouvert U de P(Rⁿ), donnant lieu à des variétés quotients U/Γ. La géométrie et la topologie de ces variétés, et la dynamique typiquement chaotique de Γ au bord de U, font partie des questions sur lesquelles je travaille. Un point intéressant est que les sous-groupes discrets Γ de covolume infini peuvent parfois avoir de gros espaces de déformations, contrairement aux réseaux qui sont rigides. Dans le cas où Γ est isomorphe au groupe fondamental d’une surface fermée de genre ≥2, ces espaces de déformations font l’objet d’une théorie actuellement en plein essor, la théorie de Teichmüller supérieure. On peut également étudier la géométrie et la dynamique des actions de Γ sur certains espaces homogènes pseudo-riemanniens : par exemple, si Γ est contenu dans SO(p,q), il agit naturellement sur un analogue pseudo-riemannien H^p,q-1 de l’espace hyperbolique en signature (p,q-1). En étudiant ces actions de groupes sur des espaces homogènes, on espère mieux comprendre le monde encore bien mystérieux des sous-groupes discrets de SL(n,R) pour n≥3.

Qu’est-ce que vous aimez dans le métier de mathématicienne ?

C’est une grande chance de pouvoir vivre de sa passion, et je suis heureuse de pouvoir exercer mon métier avec la liberté que permet le CNRS. J’apprécie particulièrement la dimension internationale de notre profession, et les nombreuses possibilités d’échanges et de collaborations avec les collègues que je rencontre en France ou à l’étranger. Certains deviennent des coauteurs de longue durée ou des amis. Ils me permettent parfois de découvrir d’autres façons d’aborder les mathématiques, voire d’autres approches de la vie.

Savez-vous déjà ce que vous allez raconter à l’ICM à Rio ?

Je compte parler de liens récents entre les sous-groupes discrets des groupes de Lie et les structures géométriques sur les variétés, notamment autour de la notion de « représentation d’Anosov ».

Qu’est-ce que ce congrès représente pour vous ?

Une immense fête des mathématiques ! Lorsque j’ai assisté à l’ICM de Séoul en 2014, j’ai été frappée par l’extraordinaire sentiment d’unité qui semblait régner dans la communauté mathématique mondiale. À la cérémonie d’ouverture, les participants venaient du monde entier : j’étais assise à côté de deux mathématiciennes indiennes et de deux mathématiciens d’Oman. Le plaisir de faire et de comprendre des mathématiques était omniprésent. Outre son rôle de diffusion des dernières avancées dans des domaines de recherche actifs, l’ICM a, me semble-t-il, vocation à créer des liens entre des personnes d’origines très différentes, rassemblées par leur passion commune pour notre discipline. J’espère qu’à Rio comme à Séoul, la fête des maths battra son plein !

Fanny Kassel est chargée de recherche au CNRS. Elle est membre du Laboratoire Alexander Grothendieck (CNRS & IHES).