Vers une description générale des auto-intersections dérivées

Rappelons que la géométrie algébrique s’attache à la description d’ensembles définis par des équations polynomiales : courbes, surfaces ou, plus généralement, variétés algébriques, lorsque l’on dépasse la dimension 3 d’espace.

Au sein de la géométrie algébrique, la théorie de l’intersection a pour objet de décrire comment des variétés algébriques se coupent dans un espace ambiant (par exemple une sphère et un plan se coupent le long d’un cercle). Une auto-intersection consiste à comprendre comment une variété algébrique intersecte ses perturbations infinitésimales.

L’objectif de la géométrie algébrique dérivée est d’utiliser des techniques de topologie algébrique. Concernant la description des auto-intersections, il s’agit alors de les décrire au moyen d’objets de nature homotopique : des faisceaux en dg-algèbres que l’on peut comprendre comme des collections d’espaces de fonctions construites en chaque point de la variété et muni de la structure d’algèbre (cf. l’exemple de la fig.1).

La contribution récente de Julien Grivaux donne une description géométrique complète de l’approximation au premier ordre d’une auto-intersection générale. C’est un premier pas dans la compréhension d’objets fascinants mais difficiles à appréhender géométriquement, et qui sont en tout cas loin d’avoir livré tous leurs secrets.

Référence :

Julien Grivaux. Derived geometry of the first formal neighborhood of a smooth analytic cycle, à paraître.