L’information de Fisher, une des clés de l’équation de Boltzmann
La célèbre équation de Boltzmann quantifie la croissance de l’entropie pour des distributions statistiques dépendant à la fois des positions et vitesses des particules. Son analyse fait un pas notable avec la preuve de la régularité globale pour des distributions indépendantes de la variable d’espace, y compris pour une classe importante d’interactions très singulières. La clé de cet article de Cyril Imbert1 , Luis Silvestre2 et Cédric Villani3 , paru dans Inventiones mathematicae, était d’établir la grande généralité de la décroissance de l’information statistique de Fisher sous l’effet des collisions.
La thermodynamique naît au 19e siècle pour quantifier le langage de l’énergie et de la chaleur, des moteurs et des pompes, issu de la révolution industrielle. Sadi Carnot en 1824 énonce l’irréversibilité de certaines transformations thermodynamiques et la quantifie par une grandeur extensive (proportionnelle à la quantité de matière), toujours croissante (second principe de la thermodynamique), que Rudolf Clausius en 1850 nommera entropie (capacité à se transformer). En 1872, Ludwig Boltzmann lui donne une interprétation mathématique dans le cadre de la nouvelle théorie atomique statistique développée par James C. Maxwell. La postérité de cette entropie de Boltzmann est immense, dans toutes les branches des sciences. Elle a accompagné certaines des plus glorieux chapitres d’analyse mathématique, de John Nash à Grigori Perelman en passant par Raghu Varadhan et Dan Voiculescu.
Mais l’équation de Boltzmann elle-même, redoutable combinaison de phénomènes de transport, diffusion et collision, est loin d’avoir livré tous ses mystères. La régularité supposée de ses solutions est au cœur de bien des travaux de ces dernières décennies, que ce soit sur le retour à l’équilibre des gaz inhomogènes, ou la description statistique des lois de la mécanique. Un chapitre de ce projet de longue haleine se concentre sur les solutions spatialement homogènes, c’est-à-dire quand les statistiques particulaires sont indépendantes de la variable de position. Cette étude fut initiée par Torsten Carleman dans les années 1930 pour des interactions ``de sphères dures’’, puis incorpora des interactions de plus en plus générales, mais butait obstinément sur les interactions à très longue portée, proches des interactions coulombiennes. Correspondant à des sections efficaces très singulières, ces cas sont importants en théorie comme en pratique. C’est ce verrou qui vient d’être débloqué par Cyril Imbert, Luis Silvestre et Cédric Villani, en s’appuyant sur les travaux tout récents de Nestor Guillen et Luis Silvestre pour le cas particulier important de l’équation de Lev Landau (petite sœur de l’équation de Boltzmann qui décrit les collisions dans les plasmas).
La clé de la régularité était l’information de Fisher, introduite par Ronald Fisher en 1922 pour quantifier l’efficacité des estimateurs statistiques. Petite cousine de l’entropie de Boltzmann, elle aussi s’exprime grâce au logarithme de la distribution statistique, mais via le carré de son gradient. Intervenant dans les inégalités de Cramer-Rao, Stam, Sobolev logarithmique, elle est bien connue en théorie de l’information classique et quantique, et dans l’analyse des diffusions. Henry McKean le premier découvrit qu’elle était décroissante pour une caricature monodimensionnelle de l’équation de Boltzmann. Les travaux de Giuseppe Toscani et Cédric Villani dans les années 1990 avaient étendu cela à certaines interactions particulières. Mais ce que l’on vient de comprendre, c’est que cette décroissance s’applique en bien plus grande généralité. La preuve combine tout un ensemble d’ingrédients analytiques, y compris des estimées sur les polynômes de Legendre multidimensionnels, et un encadrement de la constante optimale dans une inégalité de type Sobolev logarithmique différentiel non locale sur l’espace projectif ; elle apporte une nouvelle cohérence dans le paysage des inégalités fonctionnelles en présence de la géométrie des collisions de Boltzmann.
Identifier une nouvelle fonctionnelle monotone, pour une équation âgée de 150 ans, c’est aussi rare que précieux. D’une part, c’est une nouvelle estimation sur les solutions, apportant le petit surplus de régularité qui manquait pour faire tourner toute la machinerie développée dans ce domaine au cours des dernières décennies. D’autre part, c’est une conclusion marquante du point de vue physique. Boltzmann nous a appris que les collisions font évoluer la distribution statistique de l’exceptionnel vers le commun ; maintenant nous découvrons qu’elles la rendent de plus en plus difficile à estimer, en un sens quantifiable par la physique mathématique.