Une conjecture de Birkhoff datant de 1941 infirmée

En système dynamique, on itère la même transformation d’un espace. Les points sont ainsi changés de position par la même transformation à chaque itération. Ils peuvent revenir à leur position initiale. Dans ce cas, le point est dit périodique. Il est naturel de vouloir comprendre les dynamiques en fonction du nombre de leurs points périodiques. Cette démarche remonte au début du XX^e siècle.

Si l'on considère une rotation du cercle d'un quart de tour, d'un tiers de tour ou, plus généralement, d'angle rationnel, tous les points reviennent à leur position initiale après un certain nombre d'itérations. Tous les points sont donc périodiques. En revanche, pour une rotation d'angle irrationnel, aucun point n'est périodique. Si l'on déforme continûment le cercle (en changeant sa paramétrisation), cette propriété demeure : une rotation irrationnelle observée dans une autre paramétrisation reste sans point périodique.

En 1932, Arnaud Denjoy démontra la réciproque. Toute dynamique analytique du cercle sans point périodique est une rotation topologique : vue dans une certaine paramétrisation du cercle, la dynamique est une rotation irrationnelle. 

George Birkhoff conjectura en 1941 qu'un phénomène analogue devait subsister pour les transformations analytiques du cylindre qui préservent l'aire et ne possèdent aucun point périodique. Ces transformations sont appelées pseudo-rotations. Plus précisément, il conjectura que toute pseudo-rotation analytique devient, après déformation du cylindre, une rotation irrationnelle.

L'article de Pierre Berger montre que cette conjecture est fausse.

Il construit des pseudo-rotations analytiques qui ne sont pas des rotations topologiques. Autrement dit, il construit des transformations analytiques du cylindre, préservant l’aire, sans point périodique et qui sont différentes des rotations pour n’importe quelle paramétrisation du cylindre. 

Certaines possèdent une propriété remarquable : la trajectoire typique d'un point parcourt uniformément toutes les régions du cylindre. Un tel comportement est impossible pour une rotation et fournit ainsi les premiers contre-exemples analytiques à la conjecture de Birkhoff.

L'article construit également des pseudo-rotations analytiques présentant une haute émergence. Cette notion mesure la complexité statistique d'un système dynamique. Dans ces exemples, le nombre de comportements statistiques nécessaires pour décrire la dynamique devient extrêmement grand, rendant celle-ci pratiquement indescriptible.

Ces résultats montrent que l'absence de point périodique n'impose pas nécessairement un comportement simple. Même dans un cadre très rigide — analytique, conservatif et sans aucun point périodique — une dynamique peut présenter une complexité statistique considérable.

Ces résultats s'inscrivent dans une série de travaux récent [1,2,3,4,5,6] consacrés à l'émergence et aux dynamiques sauvages. Ils révèlent que de nombreux systèmes dynamiques — notamment polynomiaux ou hamiltoniens — peuvent présenter une richesse statistique insoupçonnée : deux points de départ presque confondus peuvent conduire à des comportements statistiques radicalement différents à long terme, faisant apparaître une infinité de comportement statistiques différents.