Comment les ordinateurs simulent-ils le littoral ?

Pourquoi y a-t-il des vagues dans l'océan ? 

Les vagues comptent parmi les phénomènes de mouvement les plus fascinants du monde naturel. Elles peuvent se montrer douces, presque hypnotiques, ou soudaines et dévastatrices, capables de remodeler des littoraux entiers en quelques minutes. Depuis des siècles, les êtres humains contemplent la mer et s’interrogent sur les mouvements qui animent sa surface. À première vue, les vagues peuvent sembler n'être qu'un simple mouvement de va-et-vient de l'eau, mais elles sont en réalité le résultat de processus physiques complexes.

La plupart des vagues océaniques naissent du vent. Lorsque l'air se déplace à la surface de la mer, il transfère une partie de son énergie à l'eau, créant d'abord de minuscules ondulations, puis des vagues plus importantes qui peuvent parcourir d'énormes distances. Certaines vagues générées dans les régions océaniques en proie à la tempête peuvent continuer à se propager longtemps après que le vent qui les a créées a disparu. Pourtant, le vent n'est qu'une des nombreuses forces capables de mettre l'eau en mouvement. Les vagues peuvent également être déclenchées par des changements de pression atmosphérique, des glissements de terrain sous-marins, des éruptions volcaniques ou des séismes sous le fond marin. L'exemple le plus spectaculaire est celui du tsunami : en pleine mer, une telle vague peut passer presque inaperçue, avec une hauteur de quelques dizaines de centimètres seulement, tout en s'étendant sur une immense longueur d'onde. Mais à mesure qu'elle s'approche de la côte et que l'eau devient moins profonde, sa vitesse diminue, sa forme change et sa hauteur peut atteindre celle d'un mur d'eau destructeur. Un phénomène presque invisible au large peut ainsi devenir catastrophique à son arrivée sur le littoral.

À mesure que les vagues se déplacent des eaux profondes vers le rivage, elles commencent à se transformer. Leur vitesse dépend de la profondeur, leurs crêtes peuvent se courber en raison de la topographie sous-marine, et leur amplitude peut augmenter dans un processus appelé « shoaling ». Finalement, une vague peut devenir trop raide pour rester stable et se briser, libérant son énergie sous forme de turbulence, d’embruns et d’écume. Ce spectacle côtier familier, si courant dans la vie quotidienne, est en fait le résultat final d’un équilibre délicat entre la gravité, l’inertie, la profondeur et la dissipation d’énergie.

Modèles mathématiques

Étudier les vagues, c'est se situer à la croisée de la physique, de la modélisation mathématique et du calcul numérique. Le mouvement des vagues peut être décrit par des modèles mathématiques formulés sous forme de systèmes d'équations différentielles, comme par exemple les célèbres équations des eaux peu profondes (équations de Barré de Saint-Venant). En collaboration avec des physiciennes et physiciens, les mathématiciennes et mathématiciens développent des modèles de plus en plus complexes, capables de mieux représenter la complexité du comportement réel des vagues, y compris leur déferlement. Dans ces modèles, les équations décrivent l’évolution au cours du temps de quantités telles que la hauteur ou la vitesse de l’eau en chaque point de l’espace. 

La figure 2 est une illustration de l’évolution d’un profil de hauteur d’eau obtenue à l’aide d’une équation très simplifiée appelée équation de Burgers. Bien que peu réaliste, elle reste suffisamment riche pour mettre en évidence des phénomènes ondulatoires importants tels que la propagation, le raidissement de la surface et la formation de fronts très marqués. En raison de son profil abrupt (on parle ici de discontinuité), ce type de solution est appelé « onde de choc ». De telles solutions ont démontré leur pertinence dans la modélisation du déferlement des vagues, qui est un sujet autrement complexe. Ce qui rend cet exemple particulièrement intéressant, c'est que, précisément à cause de cette discontinuité, l'équation seule ne détermine pas une solution unique. En d'autres termes, plusieurs solutions mathématiquement acceptables peuvent exister, mais une seule correspond au comportement physique observé dans la nature. 

Une fois les équations établies, les ordinateurs deviennent des outils essentiels pour établir des prédictions et comprendre comment le modèle se comporte dans la pratique.

Que devons-nous indiquer aux ordinateurs pour qu’ils modélisent les vagues ? 

En mathématiques, les équations des vagues sont formulées dans un espace et un temps continu. Les ordinateurs, en revanche, sont des machines discrètes : ils ne manipulent pas d’objets continus, mais des ensembles finis de nombres. Cet écart est comblé par ce que l’on appelle la discrétisation du domaine, l’un des principes fondamentaux de l’analyse numérique. Plutôt que de décrire l'onde en chaque point de la surface de l’eau, nous ne le faisons que pour un ensemble fini de positions, appelées nœuds. L'illustration ci-dessous (figure 3) montre ce principe : bien que la surface de l'eau soit physiquement continue, un peu comme un tissu, nous la représentons à l'aide d'une grille constituée par un nombre fini de nœuds placée sur cette surface continue. Le temps est discrétisé de manière analogue.

À ce stade, la tâche de la mathématicienne ou du mathématicien consiste à élaborer une méthode, appelée « schéma numérique », qui transforme les équations en un algorithme implémentable sur ordinateur, et qui consiste à mettre à jour à chaque pas de temps les valeurs associées aux nœuds. Un tel algorithme doit satisfaire à des propriétés essentielles, notamment la stabilité et la convergence vers la bonne solution. Plus simplement, la stabilité garantit que le calcul se déroule correctement, par exemple sans développer d’oscillations parasites, tandis que la convergence garantit que l'approximation numérique s'améliore à mesure que la grille est raffinée, c’est-à-dire quand les nœuds sont plus nombreux et plus proches les uns des autres. Cela donne une description plus détaillée de l'onde, au prix d'une augmentation du temps et des ressources nécessaires au calcul.

Un schéma numérique de bonne qualité doit également respecter des propriétés physiques fondamentales. Par exemple, la profondeur de l'eau doit toujours rester positive, et l'énergie du système doit évoluer de manière réaliste. En particulier, elle ne doit pas augmenter artificiellement au cours du calcul : dans les écoulements réels, des processus tels que le frottement ou le déferlement des vagues ont tendance à dissiper l'énergie plutôt qu'à en créer. Si ces principes ne sont pas respectés, la solution ne peut pas correspondre à une situation physique réelle.

Importance des choix effectués lors de l'élaboration d'un algorithme numérique

Il existe de multiples schémas numériques pour une même équation, qui ne produisent donc pas forcément les mêmes résultats. Lorsque la solution reste régulière, ces différences peuvent être minimes. Cependant, en présence de fronts abrupts (discontinuités), le choix du schéma devient essentiel : certaines méthodes restituent le comportement physique correct, tandis que d’autres peuvent conduire à des solutions inexactes, voire non physiques. Plus précisément, lors de la résolution numérique de l’équation, il faut décider comment l'onde se déplace à travers la grille, autrement dit comment l’information est transmise d’un point de la grille à ses voisins. Plusieurs choix sont possibles : certains schémas atténuent la discontinuité, tandis que d'autres tentent au contraire de la suivre de manière plus précise. Ces choix déterminent la manière dont l'onde est reconstruite entre les nœuds et peuvent conduire à des résultats très différents.

Nous souhaitons présenter ici un exemple simple sur la discrétisation de l’équation de Burgers qui, à première vue, peut ne pas sembler étroitement lié aux vagues. Mais elle nous permet de montrer, de manière très claire que le résultat d'une simulation dépend non seulement de l'équation elle-même, mais aussi de la méthode numérique utilisée pour l’approcher.

Prenons une situation simple où l'eau présente au temps 0 deux niveaux différents. Imaginons une colonne d'eau à côté d'une zone où le niveau d'eau est plus bas. En termes mathématiques, cela s'écrit par la condition initiale suivante :

 comme illustré ci-dessous :

Nous comparons ici (figure 5) les résultats de deux schémas numériques approchant les solutions de l'équation de Burgers. Chaque schéma produit une solution mathématiquement admissible de l’équation, mais seule l’une d’entre elles rend compte de la dynamique attendue de la vague. Elle figure en orange sur la figure 6. Cette solution est correctement reproduite par le schéma illustré sur la figure de droite.

Ce qui rend le résultat de gauche amusant, c'est que cette solution non physique semble suggérer que, si une colonne d'eau est initialement au repos, elle restera simplement figée dans l'espace au lieu de s'effondrer sous l'effet de la gravité.

Ainsi, même si cet exemple ne décrit pas directement les vagues côtières réelles, il nous enseigne une leçon importante pour la modélisation des vagues en général : avant de se fier à une simulation, il faut s'assurer que la méthode numérique est capable de sélectionner la bonne solution physique, qui elle-même est déterminée par une étude théorique fine des équations. On se rend compte ici que l’interaction entre mathématiques, physique et mécanique est indispensable.