Gerd Faltings, lauréat du prix Abel 2026

Cette distinction s’ajoute à l’impressionnante série de récompenses reçues par Gerd Faltings tout au long de sa carrière parmi lesquelles figurent la médaille Fields, que le chercheur a obtenue en 1986. Une médaille et un prix de 7.5 millions de couronnes suédoises (670 000€) ont été remis au lauréat lors d’une cérémonie à Oslo le 26 mai 2026. Gerd Faltings, déjà le premier allemand à recevoir la médaille Fields, devient ainsi le premier allemand à recevoir le prix Abel.

Reconnu dès son plus jeune âge pour ses talents mathématiques (nommé professeur en 1982 à l'université de Wupertal en Allemagne), Faltings a accumulé les honneurs suite à la publication en 1983 de l'article Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern dans lequel il démontre la conjecture de Mordell. Il est professeur et directeur au Max Planck Institute depuis 1994 et a contribué à faire de cet institut un centre mondial pour la géométrie algébrique. Faltings a encadré une quinzaine de thèses.

Le prix Abel rejoint les nombreuses récompenses que Faltings a reçu au long de sa longue carrière dont la médaille Fields en 1986 et le prix Shaw en 2015. Le prix Abel lui est remis cette année « pour l’introduction d’outils puissants en géométrie arithmétiques et la résolution des conjectures diophantiennes de Mordell et Lang ». Parlons donc un peu de la conjecture de Mordell. 

Les travaux de Faltings se situent en géométrie arithmétique, dont l'objet d'étude principal sont les équations diophantiennes : il s'agit d'équations polynômiales à coefficients entiers en, disons, deux inconnues dont on cherche des solutions rationnelles. Par exemple, « \(x^2 - 2y^2 = 0\) » : cette équation n’a aucune solution rationnelle sans quoi \( \sqrt{2} \) serait quotient de deux entiers. Autre exemple, l’équation « \(x^5 + y^5 - 1 = 0\) » : là encore, il n’y a pas de solution rationnelle (c’est un cas particulier du célèbre théorème de Fermat--Wiles). Ou encore « \(x^2 + y^2 = 1\) »: on peut montrer que cette équation admet une infinité de solutions \((x, y)\) rationnelles (les triplets pythagoriciens). La classe des équations diophantiennes renferme encore de nombreux mystères. 

Certaines de ces équations, lorsque l’on trace l’ensemble des solutions complexes \((x, y)\) définissent une surface de Riemann sur \(\mathbb{C}\), c'est-à-dire une courbe algébrique, qu'on note C. La conjecture de Mordell, formulée en 1922, prédit que le genre de cette surface (le nombre de trous) gouverne la structure de l’ensemble des solutions rationnelles à l’équation de départ. Plus précisément, l'intuition majeure de Louis Mordell est que si le genre de C est 2 ou plus, l’équation diophantienne de départ n’a qu’un nombre fini de solutions rationnelles. Il faut mesurer à quel point cette intuition est surprenante : il n'est apriori pas évident d'imaginer qu'une information liée à la géométrie complexe (le genre), gouverne une information de nature arithmétique (l'ensemble des solutions rationnelles). On avait, notamment depuis Parshin dans les années 60, réduit cette conjecture de Mordell à deux autres grandes questions en géométrie arithmétique : les conjectures de Tate et Shafarevich.

La conjecture de Mordell se traduit en effet dans un cadre géométrique : en plongeant la courbe C dans sa jacobienne, on se ramène à un problème arithmético-géométrique dans le contexte des variétés abéliennes. Serge Lang formule, dans les années 60, une version plus générale de ce problème : la conjecture de Lang s'intéresse à l’intersection entre une sous-variété (d'origine géométrique) et un sous-groupe de type fini (de nature arithmétique) d'une variété abélienne donnée (et non plus seulement l'intersection entre la courbe C plongée dans sa jacobienne J avec le groupe des points rationnels sur J).

La conjecture de Tate prédit la semi-simplicité de la représentation galoisienne associée à une variété abélienne. La conjecture de Shafarevich prédit la finitude (à isomorphisme près) de l’ensemble des variétés abéliennes de dimension donnée et à bonne réduction hors d’un ensemble de premiers donné. Ce sont en fait ces deux conjectures que Faltings démontre dans son fameux article à Inventiones de 1983. Écrit en allemand, ce travail lui vaudra une reconnaissance mondiale, immédiate et durable.

À la suite à ce travail de Faltings, Paul Vojta propose en 1991 une seconde preuve de la conjecture de Mordell (utilisant des méthodes plus « traditionnelles » d’approximation diophantienne).

En combinant cette approche à son désormais célèbre théorème du produit (1991), Faltings démontre alors la conjecture de Mordell—Lang, la version générale de la conjecture de Mordell énoncée par Lang mentionnée ci-dessus. Cette version générale n'est qu'un proto-exemple des questions d’intersection exceptionnelle en géométrie arithmétique, qui occupent encore aujourd'hui les spécialistes de géométrie diophiantienne.

Les travaux et les idées de Faltings ont profondément transformé le paysage de la géométrie arithmétique.  Faltings nous a par exemple appris à bien mesurer la complexité arithmétique des variétés abéliennes : sa notion de hauteur reste l'outil de choix pour bien des problèmes en géométrie diophantienne. Plus généralement, les objets et les outils que Faltings a introduits et a prégnance de ses idées ont inspiré, et continuent à inspirer, des avancées majeures en géométrie diophantienne. 

Article écrit par Richard Griffon, enseignant-chercheur au Laboratoire de mathématiques Blaise Pascal .