Rémi Boutonnet a été recruté au CNRS comme chargé de recherche en 2015. Il est affecté à l’Institut de mathématiques de Bordeaux. Ses recherches portent sur les algèbres d’opérateurs, parfois en lien avec la dynamique et la théorie des groupes. Une partie significative de ses travaux portent sur une théorie qui a révolutionné le domaine des algèbres d’opérateurs au début des années 2000 à la suite des travaux de Sorin Popa, la théorie de déformation/rigidité des algèbres de Von Neumann.
Dans un travail en commun avec Alessandro Carderi, Rémi Boutonnet s'intéresse à l'étude des sous-algèbres maximales moyennables dans les algèbres de von Neumann associées à un groupe ou à un produit croisé. Pour simplifier, considérons le cas des groupes. La question est de comprendre, si Λ est un sous-groupe moyennable de Γ, quand la condition suivante est satisfaite :
(*) l'algèbre de von Neumann de Λ est maximale parmi les sous-algèbres moyennables de l'algèbre de von Neumann de Γ.
Une condition nécessaire évidente est que Λ soit maximal parmi les sous-groupes moyennables de Γ, mais la question est bien plus subtile car il y a bien plus de sous-algèbres de von Neumann intermédiaires que de sous-groupes. Dans un article assez célèbre et à la postérité importante en 1983, Popa avait montré que (*) était vraie lorsque Γ est un groupe libre et Λ un facteur libre. Boutonnet et Carderi donnent une condition géométrique (de type « dynamique ») qui garantit (*). Cela généralise le résultat de Popa à de nombreux autres exemples (par exemple les groupes hyperboliques), mais il s'agit surtout de l'introduction d'une idée nouvelle dans le domaine. Ce travail a participé au développement de techniques de dynamique topologique en algèbres d'opérateurs, qui sont encore en train de profondément changer le domaine.
Avec Ionuţ Chifan et Adrian Ioana, Rémi Boutonnet démontre en 2017 un résultat fondamental, qui peut s'exprimer entre la théorie des modèles et les algèbres de von Neumann : il existe un continuum de facteurs II1 dont les ultraproduits sont tous différents (ils ne sont pas élémentairement équivalents dans un sens de théorie des modèles continus). Avant leur résultat, seules trois classes différentes avaient été introduites. Ils démontrent que le continuum de facteurs II1 non-isomorphes construits par McDuff en 1969 ont la propriété bien plus forte de ne pas être élémentairement équivalents. La preuve s'inspire du travail de McDuff, mais il y a un vrai apport : ils introduisent un nouvel invariant très fin, la profondeur de McDuff d'un facteur II1.
Avec Adrian Ioana et Alireza Salehi Golsefidy il s'intéresse à un analogue « en volume infini » (i.e. groupes non compacts) de travaux Bourgain et Gamburd (généralisés par Benoist et de Saxcé) sur le trou spectral de certains opérateurs de moyennes discrets sur des groupes de Lie. La notion même de trou spectral n'était pas définie en volume infini, une contribution significative est de définir cette notion.
Avec Cyril Houdayer, il étudie les actions « stationnaires » de groupes de Lie semi-simples de rang supérieur. D'une part, ils généralisent des travaux de Nevo et Zimmer au cas d'actions stationnaires sur des algèbres de von Neumann pas forcément commutatives. Un résultat surprenant qu'ils obtiennent dans ce cadre stationnaire est l'existence d'une sous-algèbre commutative non-triviale globalement invariante par l'action. D'autre part, leur travail contient aussi une nouveauté directement applicable dans le cas classique de Nevo et Zimmer : étant donné un réseau dans un tel groupe de Lie, une nouvelle procédure d'induction stationnaire permet d'obtenir des résultats sur certaines actions (qui ne préservent pas forcément une mesure) de ce réseau.
