Prix Breakthrough 2026 : Frank Merle récompensé pour ses travaux sur les équations d’évolution non linéaires

Le 18 avril 2026, le mathématicien français Frank Merle s’est vu attribuer le prix Breakthrough 2026 pour les mathématiques. Depuis 2015, cet « Oscar de la science » récompense des avancées scientifiques majeures à hauteur de 3 millions de dollars. Avec cette distinction, le jury a tenu à saluer les travaux de Frank Merle qui « ont considérablement fait progresser la compréhension moderne des équations d’évolution non linéaires ». Le mathématicien devient ainsi le troisième français à recevoir cette récompense. « C’était une surprise complète. On ne travaille pas pour les prix, mais par passion. La science est le vrai but », partage Frank Merle. 

Depuis ses travaux de thèse, en 1987, Frank Merle s’intéresse aux équations aux dérivées partielles (EDP), des équations dont les solutions sont des fonctions dépendant de plusieurs variables (par exemple, de la position et du temps). Plus précisément, le mathématicien est devenu spécialiste des EDP non-linéaires d’évolution, c’est-à-dire celles modélisant une dynamique au cours du temps. Ces EDP décrivent parfois des phénomènes physiques réels, « même si Frank est resté très théorique dans son approche des mathématiques », souligne Hatem Zaag, l’un de ses anciens étudiants en thèse, aujourd’hui directeur de recherche CNRS au Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications de l'Université .

Pour Frank Merle, tout part d’une prise de risque pendant son postdoc au Courant Institute de New York. « Il aurait pu poursuivre ses travaux sur ce qu’il faisait en thèse, c’est-à-dire des équations non évolutives », expose Jérémie Szeftel, directeur de recherche CNRS au Laboratoire Jacques-Louis Lions . Encouragé par Louis Nirenberg , Frank Merle se plonge plutôt dans l’étude des équations d’évolution sur le temps long. Il s’intéresse au comportement des solutions au bout d’un certain temps, voire un temps infiniment long. « Quand j’ai commencé à travailler sur ces sujets, beaucoup de chercheuses et chercheurs ne pensaient pas que les mathématiques pouvaient faire avancer cette étude. On comptait davantage sur les calculs plus proches de la physique », se souvient le lauréat. 

Très vite pourtant, Frank Merle montrera l’importance de l’analyse mathématique. Conférencier invité au Congrès international des mathématiciens de Berlin en 1998, il y présente ses travaux sur l’équation de Schrödinger critique, décrivant le comportement des lasers. « Ici, j’ai réussi à trouver une masse initiale critique où l'explosion en temps fini est complètement décrite », retrace-t-il. Une explosion désigne un moment où les quantités physiques se concentrent et deviennent infiniment grandes. 

L’approche de Frank Merle est hybride, mêlant des outils issus des EDP, de la géométrie et de l’analyse harmonique. Il réussit également à développer des méthodes suffisamment générales pour être utiles à l’étude d’équations très différentes. Il vogue ainsi notamment entre l’étude de l’équation de la chaleur, avec Hatem Zaag ; l’équation de Schrödinger avec Pierre Raphaël, titulaire de la Chaire Herchel Smith de mathématique pure à la faculté de mathématiques de Cambridge ; et les équations de Korteweg–de Vries, qui modélisent les vagues en eau peu profonde, avec Yvan Martel du Centre de Mathématiques Laurent Schwartz .

Chaque fois, un même objectif : celui de décrire les solutions. Les calculer explicitement est trop difficile, le mathématicien essaie plutôt de trouver une bonne approximation de leurs apparences. « Ici, on cherche à identifier la partie principale et on tente de montrer que le reste (ou l’erreur) est petit », explique Jérémie Szeftel.

Pour comprendre le phénomène d’explosion dans les EDP, Frank Merle s’est largement intéressé aux solitons. Ce sont des solutions de certaines EDP non linéaires qui sont remarquables par leur forme qui ne change pas au cours du temps. On en trouve un exemple dans les équations de Korteweg–de Vries : elles admettent des solutions correspondant à des vagues qui avancent dans un canal sans se déformer.

Une conjecture centrale ici est celle de la résolution en solitons. Elle suggère qu’au bout d’un certain temps, les solutions des EDP non-linéaires d’évolution ressembleront à une superposition de solitons. « Cette conjecture a un effet salvateur pour les mathématiques : elle réduit pratiquement le problème du temps long à l'étude autour de ces solitons », explique le lauréat. « Frank Merle a été l’artisan de la résolution de cette conjecture pour plusieurs équations », poursuit Hatem Zaag. Notamment avec des travaux en collaboration avec Carlos Kenig, de l’université de Chicago, qui ont conduit au développement d’une méthode générale.

Ces travaux ont un point commun, ils concernent des EDP dites “critiques”, c’est-à-dire pour lesquelles les régimes linéaires et non-linéaires sont du même ordre. Que se passe-t-il dans le cas surcritique, quand cette fois-ci le non-linéaire devient prépondérant ? « Il y a très peu de problèmes bien compris dans ce cas “sur-critique” », expose Frank Merle. 

C’est pourtant ici que prend place l’un des travaux les plus retentissants de sa carrière, obtenus en collaboration avec Pierre Raphaël, Igor Rodnianski, professeur à l’université de Princeton, et Jérémie Szeftel. En 2022, les quatre chercheurs publient une série de trois articles dans Annals of Mathematics et Inventiones Mathematicae sur des explosions en temps fini pour deux équations très différentes - après un « chemin long et douloureux », de l’aveu de Frank Merle.

La première est l’équation de Schrödinger défocalisante. « Difficile de dire ce que cette équation modélise, la version “focalisante” décrit la propagation d’un rayon laser. Or pour le cas défocalisant, la communauté mathématique ne pensait pas que l’équation pouvait exploser », se remémore Jérémie Szeftel. Cette idée était même l’objet d’une conjecture formulée par le mathématicien belge Jean Bourgain en 2000, l’un des mentors de Frank Merle. Pourtant, l’équipe réussit à montrer que cette équation explose, une surprise.

L’autre équation décrit le comportement des gaz, il s’agit de l’équation de Navier-Stokes compressible. Or elle aussi connaît une singularité. « Nous savions que les solutions de cette équation explosaient mais nous n’en avions pas encore de description », poursuit Jérémie Szeftel. Cette avancée très remarquée permettra peut-être de progresser sur l’un des problèmes du millénaire : la version « incompressible » des équations de Navier-Stokes.

Cette double découverte fut particulièrement saluée, notamment par la remise du prix Bôcher aux quatre auteurs - un prix distinguant des travaux en analyse. Ce faisant, Frank Merle devient le premier à recevoir deux fois ce prix, l’ayant déjà remporté en 2005. « Plutôt que de partir du phénomène linéaire et le perturber pour étudier le cas sur-critique, nous avons directement travaillé sur des objets non-linéaires », explique Frank Merle. Cette manière de procéder a inspiré la communauté mathématique pour bâtir de nouvelles façons d’étudier les explosions. 

« Cet exemple montre que Frank Merle n’est pas spécialiste d’une seule équation mais propose des méthodes qui vont s’appliquer ailleurs », remarque Hatem Zaag. Pionnier dans l’étude du comportement des EDP sur le temps long, Frank Merle a largement contribué à la popularisation de ce domaine et à l’avènement de nouvelles méthodes pour approcher les solutions. Cette récente distinction récompense ainsi sa grande influence dans l’étude des EDP non-linéaires d’évolution.