À propos des conjectures de plénitude et semisimplicité en cohomologie étale

Rappelons tout d'abord que la géométrie algébrique s'attache à étudier la géométrie des courbes, surfaces et plus généralement des  variétés définies par des équations polynomiales. Plus précisément, si ${S}$ est un ensemble fini d'équations polynomiales à ${n}$ indéterminées et à coefficients dans un corps ${k}$, la donnée de l'application ${V}$ qui a tout anneau ${A}$ contenant ${k}$ associe l'ensemble ${V(A)}$ des solutions de ${S}$ dans $A^n$ est ce qu'on appelle une variété algébrique affine sur ${k}$. Ce sont les pièces de base des variétés algébriques sur ${k}$ - des objets extrêmement riches et complexes, que géomètres et théoriciens des nombres cherchent à comprendre.

Évidemment, "comprendre" ne veut pas dire déterminer explicitement ${V}$ (même en dimension ${0}$, on ne sait pas dire grand chose sur cette question). Ce qu'on essaye de faire, plutôt, c'est d'associer à ${V}$ des invariants "simples", fonctoriels en ${V}$ et que l'on sait classifier - typiquemment un ${Q}$-espace vectoriel $H_Q(V)$ muni de structures supplémentaires, puis d'essayer de comprendre quelles informations sur ${V}$ on peut récupérer à partir de $H_Q(V)$. Par exemple, on peut regarder le ${Q}$-espace vectoriel $Z(V)_Q$ de base les sous-variétés intègres de ${V}$; c'est ce qu'on appelle les ${Q}$-cycles algébriques.

En fait, $Z(V)_Q$ est trop gros et juste comme ${Q}$-espace vectoriel, ne retient pas vraiment d'information sur ${V}$. Par contre, on peut observer que $Z(V)_Q$ n'est pas très loin d'être muni d'une loi de composition interne: si $Z_1,Z_2$ sont deux sous-variétés intègres de ${V}$, on peut être tenté de définir $Z_1*Z_2$ comme la somme des composantes irréductibles de $Z_1\cap Z_2$. Cette idée naïve marche bien une fois que l'on a quotienté  $Z(V)_Q$ par des relations d'équivalence dites "adéquates" (équivalence rationnelle, algébrique, numérique etc.). On obtient alors sur  $Z(V)_Q$ une structure de ${Q}$-algèbre qui, quitte à perdre un peu d'information, décrit comment les cycles s'intersectent. Là, les choses deviennent très très intéressantes... Les quotients de $Z(V)_Q$ sur lesquels on sait dire le plus de choses sont ceux de dimension finie. Ils proviennent essentiellement de l'équivalence numérique et des équivalences homologiques. Ces dernières sont associées à ce qu'on appelle des cohomologies de Weil (cohomologie de Betti, de de Rham, l-adique, cristalline etc.), qui sont des foncteurs $V\rightarrow H_Q(V)$ de la catégorie des variétés sur ${k}$ dans celles des ${Q}$-algèbres de dimension finie munies de morphismes de ${Q}$-algèbres

appelés "applications cycles". Les fibres de ces applications définissent l'équivalence homologique associée à $H_Q$.

C'est dans ce contexte qu'ont été énoncées certaines des conjectures les plus fascinantes de la géométrie algébrique: conjectures standard, conjectures de semisimplicité et  plénitude. Plus précisément, la cible d'une cohomologie de Weil $H_Q$ est une catégorie tannakienne $T_{H_Q}$ et on peut attacher à $V$ un sous-groupe algébrique $G_{H_Q}(V)$ de $GL(H_Q(V))$  dont la catégorie des représentations est la sous-catégorie tannakienne engendrée par $H_Q(V)$ dans $T_{H_Q}$. Le groupe $G_{H_Q}(V)$ doit être pensé comme un invariant mesurant la complexité de $V$. Les conjectures ci-dessus prédisent alors que si $V$ est projective lisse, les groupes $G_{H_Q}(V)$ pour différentes cohomologies $H_Q$ sont tous obtenus à partir d'un même groupe `universel' - le groupe de Galois motivique rêvé par Grothendieck - et que, dans chaque cohomologie de Weil, l'image de l'application cycle est exactement le sous espace vectoriel des éléments $G_{H_Q}(V)$-invariants. Pour la cohomologie de Betti $Q$ est le corps des rationnels, $G_{H_Q}(V)$ est le groupe de Mumford-Tate et on retrouve la conjecture de Hodge, pour la cohomologie l-adique, ${Q}$ est le corps $Q _\ell$ des nombres $\ell$-adiques, $G_{H_{Q _\ell}}(V)$ est la clôture de Zariski de l'image du groupe de Galois absolu de $k$, qui agit naturellement sur $H_Q(V)$ et on retrouve la conjecture de Grothendieck-Serre-Tate. Les conjectures standard prédisent notamment que $G_{H_Q}(V)$ doit être réductif c'est à dire opérer de façon semisimple sur $H_Q(V)$. Pour la cohomologie de Betti, c'est une conséquence de la théorie de Hodge. Par contre, pour la cohomologie l-adique, on ne sait le montrer que dans de rares cas (qui tous ou presque découlent de celui des variétés abéliennes, du à Tate, Zarhin, Faltings).  En 1980, Deligne dans [D80], a montré   que lorsque {k} est de type fini sur le corps $F_p$ à {p} éléments et $l\not=p$, le groupe dérivé $D_{H_{Q _\ell}}(V)$ de $G_{H_{Q _\ell}}(V)$ est semisimple - ce qui signifie que $G_{H_{Q _\ell}}(V)$ est `presque' réductif.

Il y a une autre cohomologie de Weil qui est très proche de la cohomologie  $\ell$-adique, c'est la cohomologie $H$ définie par la collection $H _\ell$ des groupes de cohomologie à coefficients dans $F _\ell$ (pour vraiment parler de cohomologie de Weil, il faudrait travailler à coefficients dans des ultraproduits). Anna Cadoret, Chun Yin Hui et Akio Tamagawa viennent de démontrer dans [CHT17] l'analogue du théorème de Deligne pour $H$. Si on note $\Pi$ le groupe de Galois absolu du corps $k$ auquel on adjoint la clôture algébrique de $F_p$ le théorème de Deligne revient à montrer que $\Pi$ agit de façon semisimple sur $H_{Q _\ell}(V)$, et l'analogue pour $H$  que $\Pi$ agit de façon semisimple sur $H _\ell(V)$ pour  $\ell$ suffisamment grand. Le principe de la preuve est de se ramener au théorème de Deligne en utilisant que $H_{Q _\ell}$ et $H _\ell$ s'obtiennent  à partir de la cohomologie $H_{Z _\ell}$ à coefficient dans $Z _\ell$ respectivement par extension des scalaires à $Q _\ell$ et par réduction modulo  $\ell$. Le point clef est de prouver que le groupe de cohomologie   $H^1(\Pi,H_{Z _\ell})$ est sans torsion pour  $\ell$ suffisamment grand ou, de façon équivalente, que les $\Pi$-invariants de $H _\ell$ sont la réduction modulo-l des $\Pi$-invariants de $H_{Z _\ell}$. Cette partie de la preuve repose sur des résultats profonds de géométrie arithmétique, dont la théorie des poids de Deligne. Une fois que l'on sait que les $\Pi$-invariants commutent à la réduction modulo- $\ell$, en utilisant des arguments sur les schémas en groupes, on peut également montrer que l'image de $\Pi$ dans le groupe des $Z _\ell$-points de la clôture de Zariski $\frak{D}_\ell$ de $D_{H_Q_\ell}$ dans $GL(H_{Z_\ell})$ est presque maximale et que $\frak{D}_\ell$ est un schéma en groupe semisimple sur $Z _\ell$. Ces résultats impliquent notamment qu' en caractéristique $p>0$ les conjectures de plénitude et semisimplicité pour $H_{Q _\ell}$, $\ell\not=p$ et $H$ sont équivalentes.

Références :

[D80] P. Deligne, La conjecture de Weil : II, Publ. Math. I.H.E.S 52, 1980, p. 137—252. 
[CHT17] A. Cadoret, C.Y. Hui et A. Tamagawa, Geometric monodromy - semisimplicity and maximality, à paraître dans Annals of Math. 186 (juillet 2017), lien sur arXiv.