FIGURE : Partie A3 du graphe de Diestel-Leader DL(2,2) qui s'identifie à un graphe de Cayley de ℤ/𝟚ℤ≀ℤ. On a tracé en bleu et en rouge deux sous-arbres réguliers qui montrent que ce groupe a croissance exponentielle.

Quelques quantités asymptotiques des groupes de type fini

Résultats scientifiques

Jérémie Brieussel, maître de conférences à l'Université de Montpellier et Tianyi Zheng, Associate Professor à UC San Diego, présentent un résultat paru dans Annals of Mathematics, intitulé « Speed of random walks, isoperimetry and compression of finitely generated groups ».

La classification des groupes finis simples a été une réalisation majeure des années 1980. Si l'on supprime les hypothèses de finitude et de simplicité, une classification complète des groupes apparaît comme une tâche démesurée. La théorie géométrique des groupes, mise en œuvre notamment par Gromov, voit les groupes (infinis, de type fini) comme des objets géométriques au moyen de leurs graphes de Cayley. Ceux-ci peuvent alors être distingués par des quantités telles que le volume des boules, ou plus précisément par le comportement asymptotique du volume lorsque le rayon tend vers l'infini. La classification des comportements asymptotiques du volume est encore largement ouverte malgré les progrès des dernières décennies. D'autres quantités asymptotiques sur les groupes s'avèrent intéressantes, tel le profil isopérimétrique, qui quantifie la moyennabilité, notion liée au paradoxe de Banach-Tarski de duplication de la sphère, telle la vitesse des marches aléatoires, ou telle la compression qui mesure la qualité métrique des plongements dans des espaces de Hilbert, et dont la propreté assure que le groupe satisfait la conjecture de Baum-Connes. Une nouvelle construction de groupes de type fini a permis de montrer que ces trois quantités asymptotiques peuvent prendre des valeurs très diverses, quasiment arbitraires, illustrant une fois de plus la diversité « zoologique » des groupes de type fini.

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Contacts

Jérémie Brieussel est maître de conférences à l'Université de Montpellier, membre de l'Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG - CNRS & Université de Montpellier).

Tianyi Zheng est Associate Professor à UC San Diego.