Sur les représentations modulaires en caractéristique p de GL2(K)

Résultats scientifiques

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, le programme de Langlands pour le groupe GLn relie représentations de dimension n de groupes de Galois et représentations de dimension infinie de GLn. Pour les besoins de l’arithmétique, on est amené à considérer toutes ces représentations sur des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique p pour p un nombre premier arbitraire. Côté GLn, cela amène au problème suivant : comprendre et construire les - ou des - représentations en caractéristique p de GLn(K) où K est une extension finie du corps des nombres p-adiques Qp (pour le même nombre premier p!), et plus particulièrement celles de ces représentations qui apparaissent dans des espaces de cohomologie (ce sont les plus importantes).

Le cas où n = 2 et K = Qp, c’est-à-dire celui du groupe GL2(Qp), a été résolu entre les années 2000 et 2010. À la grande surprise des experts, et contrairement à ce qui se passe pour le programme de Langlands sur des corps de caractéristique différente de p, le cas de GL2(K) pour Qp s’est révélé beaucoup plus dur que pour K = Qp. À tel point que, depuis plus de 20 ans, il n’est toujours pas résolu, et les représentations de GL2(K) en caractéristique p sont toujours largement mystérieuses.

Dans un article récent1 , les auteurs en collaboration avec Florian Herzig de l’Université de Toronto et Yongquan Hu du Morningside Center of Mathematics ont réussi une percée lorsque K est une extension finie non ramifiée de Qp en déterminant la « taille » (plus précisément la « dimension de Gelfand-Kirillov ») de celles de ces représentations de GL2(K) qui apparaissent sur la cohomologie. Ce résultat et les techniques déployées pour le prouver leur a ensuite permis de montrer dans un second article2 que beaucoup de ces représentations sont de longueur finie.

Ce court article présente un survol de l’histoire de ce problème, des difficultés rencontrées, et des résultats récents ci-dessus.

  • 1Christophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu, Stefano Morra, and Benjamin Schraen, Gelfand–Kirillov dimension and mod p cohomology for GL2(F), Invent. Math. 234 (2023), 1–128.
  • 2Christophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu, Stefano Morra, and Benjamin Schraen, Conjectures and results on modular representations of GLn(k) for a p-adic field k, https://arxiv.org/pdf/2102.06188.pdf, preprint (2021).

Les auteurs

Christophe Breuil est directeur de recherche CNRS au Laboratoire de mathématiques d’Orsay (CNRS/Université Paris Saclay).

Stefano Morra est membre du Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications (CNRS/Université Sorbonne Paris-Nord), professeur à l’université Paris VIII-Vincennes-Saint-Denis et membre de l’IUF.

Benjamin Schraen est membre de l'Institut Camille Jordan (CNRS/Ecole centrale de Lyon/Insa Lyon/Université Claude Bernard/Université Jean Monnet), professeur à l’université de Lyon et membre de l’IUF.