Sur les représentations modulaires en caractéristique p de GL2(K)

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, le programme de Langlands pour le groupe GL_n relie représentations de dimension n de groupes de Galois et représentations de dimension infinie de GL_n. Pour les besoins de l’arithmétique, on est amené à considérer toutes ces représentations sur des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique p pour p un nombre premier arbitraire. Côté GL_n, cela amène au problème suivant : comprendre et construire les - ou des - représentations en caractéristique p de GL_n(K) où K est une extension finie du corps des nombres p-adiques Qp (pour le même nombre premier p!), et plus particulièrement celles de ces représentations qui apparaissent dans des espaces de cohomologie (ce sont les plus importantes).

Le cas où n = 2 et K = Qp, c’est-à-dire celui du groupe GL₂(Qp), a été résolu entre les années 2000 et 2010. À la grande surprise des experts, et contrairement à ce qui se passe pour le programme de Langlands sur des corps de caractéristique différente de p, le cas de GL₂(K) pour K ≠ Qp s’est révélé beaucoup plus dur que pour K = Qp. À tel point que, depuis plus de 20 ans, il n’est toujours pas résolu, et les représentations de GL₂(K) en caractéristique p sont toujours largement mystérieuses.

Dans un article récentChristophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu, Stefano Morra, and Benjamin Schraen, Gelfand–Kirillov dimension and mod p cohomology for GL₂(F), Invent. Math. 234 (2023), 1–128., les auteurs en collaboration avec Florian Herzig de l’Université de Toronto et Yongquan Hu du Morningside Center of Mathematics ont réussi une percée lorsque K est une extension finie non ramifiée de Qp en déterminant la « taille » (plus précisément la « dimension de Gelfand-Kirillov ») de celles de ces représentations de GL₂(K) qui apparaissent sur la cohomologie. Ce résultat et les techniques déployées pour le prouver leur a ensuite permis de montrer dans un second articleChristophe Breuil, Florian Herzig, Yongquan Hu, Stefano Morra, and Benjamin Schraen, Conjectures and results on modular representations of GL_n(k) for a p-adic field k, https://arxiv.org/pdf/2102.06188.pdf, preprint (2021). que beaucoup de ces représentations sont de longueur finie.

Ce court article présente un survol de l’histoire de ce problème, des difficultés rencontrées, et des résultats récents ci-dessus.