Propriétés ultramétriques des opérateurs de Hecke
La cohomologie cohérente des variétés de Shimura joue un rôle très important dans le programme de Langlands. L'algèbre de Hecke agit sur ces espaces de cohomologie et les systèmes de valeur propre sont des nombres algébriques. Leurs propriétés archimédiennes font l'objet de nombreux travaux liés à la conjecture de Ramanujan. Dans l'article Higher Hida theory for Siegel modular forms publié à Inventiones Mathematicae, George Boxer (Imperial College) et Vincent Pilloni (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay1 ) étudient le cas des espaces de modules de variétés abéliennes polarisées, et s'intéressent aux propriétés p-adiques de ces systèmes de valeurs propres.
- 1CNRS/UNIVERSITÉ PARIS-SACLAY
Une forme modulaire pour un sous-groupe de congruence de SL(2) peut s'interpréter comme la section d'un fibré en droite sur une courbe modulaire : l'espace de modules des courbes elliptiques. Dans l'article [BP] les auteurs considèrent plus généralement les espaces de modules de variétés abéliennes. Ce sont des variétés algébriques définies sur les nombres rationnelles. Comme espace analytique complexe, ce sont des quotients de l'espace symétrique de Siegel par un sous-groupe arithmétique du groupe symplectique.
On possède des fibrés vectoriels tautologiques sur ces variétés, et on peut considérer leurs espaces de cohomologie. Ce sont des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps des nombres rationnels. Ils sont munis d'une action d'une algèbre de Hecke.
Comme dans le cas des courbes modulaires, on sait que toute la cohomologie peut s'exprimer en termes de représentations automorphes [H], qui sont au cœur du programme de Langlands.
La structure rationnelle de la cohomologie montre que les valeurs propres de Hecke sont des nombres algébriques.
Il y a de nombreuses conjectures et résultats concernant les propriétés archimédiennes de ces nombres. La conjecture de Ramanujan, prouvée par Deligne comme conséquence des conjectures de Weil [D], montre que les valeurs propres de Hecke d'une forme modulaire cuspidale sont tempérées : leur valeur absolue archimédienne est comparable à la racine carré du volume de l'opérateur de Hecke.
Dans l'article [BP], les auteurs étudient les propriétés des opérateurs de Hecke pour la norme ultramétrique associée à un nombre premier p. L'espace de modules des variétés abéliennes étant défini sur les les nombres rationnelles, on peut lui associer une variété p-adique. L'article considère une stratification de cette variété p-adique obtenue grâce à une application de période : l'application de Hodge-Tate [S]. C'est un analogue de l'application classique de période archimédienne : le plongement de l'espace symétrique dans son dual compact.
Cette stratification de l'espace fournit une méthode pour étudier la cohomologie. La cohomologie locale de chaque strate a de très bonnes propriétés. Même si elle est de dimension infinie, les opérateurs de Hecke ont des propriétés de compacité et on peut faire une analyse spectrale. L'utilisation des mathématiques condensées [CS] s'avère très fructueuse pour manipuler ces espaces de cohomologie de grande dimension et pour utiliser toutes les opérations en cohomologie cohérente.
L'article donne des estimations optimales sur la norme p-adique des opérateurs de Hecke et montre des propriétés d'interpolation. Sur la strate de dimension nulle, on retrouve la théorie de Hida classique [H].
Références
[BP] Boxer, G., Pilloni, V. Higher Hida theory for Siegel modular forms. Invent. math. 244, 45–141 (2026).
[CS] Dustin Clausen and Peter Scholze, Condensed mathematics and complex geometry, Course notes.
[D] Deligne, P. La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de L’Institut des Hautes Scientifiques 43, 273–307 (1974)
[H] Michael Harris, Automorphic forms and the cohomology of vector bundles on Shimura varieties, Au- tomorphic forms, Shimura varieties, and L-functions, Vol. II (Ann Arbor, MI, 1988), Perspect. Math., vol. 11, Academic Press, Boston, MA, 1990, pp. 41–91.
[H] Haruzo Hida, p-adic automorphic forms on Shimura varieties, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2004.
[S] Peter Scholze, On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties, Ann. of Math. (2) 182 (2015), no. 3, 945–1066